Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/46/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}\mathbb {R}$ mit dem Grenzwert ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$ und mit ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Dann ist ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

   ${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,.$

2. Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion erfüllen in ${}\mathbb {R}$ folgende Periodizitätseigenschaften.
   1. Es ist ${}\cos \left(x+2\pi \right)=\cos x$ und ${}\sin \left(x+2\pi \right)=\sin x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$.
   2. Es ist ${}\cos \left(x+\pi \right)=-\cos x$ und ${}\sin \left(x+\pi \right)=-\sin x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$.
   3. Es ist ${}\cos \left(x+\pi /2\right)=-\sin x$ und ${}\sin \left(x+\pi /2\right)=\cos x$ für alle ${}x\in \mathbb {R}$.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Basis von ${}V$ und es seien ${}w_{i}$, ${}i\in I$, Elemente in ${}W$. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

   $f\colon V\longrightarrow W$

   mit

   $f(v_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i\in I.$

Zur gelösten Aufgabe