Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/48/Aufgabe/Lösung

1. Es seien

   $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}{\text{ und }}\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}$

   zwei absolut konvergente Reihen reeller Zahlen. Dann ist auch das Cauchy-Produkt ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$ absolut konvergent und für die Summe gilt

   ${}\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}={\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\right)}\cdot {\left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}\right)}\,.$

2. Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

   $f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Dann gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit

   ${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt=f(c)(b-a)\,.$

3. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Dann gelten folgende Eigenschaften.

   1. ${}\varphi$ ist genau dann injektiv, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig sind.
   2. ${}\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem von ${}K^{m}$ bilden.
   3. Bei ${}m=n$ ist ${}\varphi$ genau dann bijektiv, wenn die Spalten der Matrix eine Basis von ${}K^{m}$ bilden, und dies ist genau dann der Fall, wenn ${}M$ invertierbar ist.

Zur gelösten Aufgabe