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Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/58/Aufgabe/Lösung
Es seien
a
≤
b
{\displaystyle {}a\leq b}
reelle Zahlen und sei
f
:
[
a
,
b
]
→
R
{\displaystyle {}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R} }
eine stetige Funktion. Es sei
y
∈
R
{\displaystyle {}y\in \mathbb {R} }
eine reelle Zahl zwischen
f
(
a
)
{\displaystyle {}f(a)}
und
f
(
b
)
{\displaystyle {}f(b)}
.
Dann gibt es ein
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle {}x\in [a,b]}
mit
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle {}f(x)=y}
.
Die Exponentialfunktion
R
⟶
R
,
x
⟼
exp
x
,
{\displaystyle \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \exp x,}
ist differenzierbar mit
exp
′
(
x
)
=
exp
x
.
{\displaystyle {}\exp \!'(x)=\exp x\,.}
Jedes
(inhomogene)
lineare Gleichungssystem über einem Körper
K
{\displaystyle {}K}
lässt sich durch elementare Umformungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform
b
1
s
1
x
s
1
+
b
1
s
1
+
1
x
s
1
+
1
…
…
…
…
…
+
b
1
n
x
n
=
d
1
0
…
0
b
2
s
2
x
s
2
…
…
…
+
b
2
n
x
n
=
d
2
⋮
⋱
⋱
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
=
⋮
0
…
…
…
0
b
m
s
m
x
s
m
…
+
b
m
n
x
n
=
d
m
(
0
…
…
…
…
…
…
0
=
d
m
+
1
)
{\displaystyle {\begin{matrix}b_{1s_{1}}x_{s_{1}}&+b_{1s_{1}+1}x_{s_{1}+1}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &+b_{1n}x_{n}&=&d_{1}\\0&\ldots &0&b_{2s_{2}}x_{s_{2}}&\ldots &\ldots &\ldots &+b_{2n}x_{n}&=&d_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &\ldots &\ldots &0&b_{m{s_{m}}}x_{s_{m}}&\ldots &+b_{mn}x_{n}&=&d_{m}\\(0&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &0&=&d_{m+1})\end{matrix}}}
überführen, bei dem alle Startkoeffizienten
b
1
s
1
,
b
2
s
2
,
…
,
b
m
s
m
{\displaystyle {}b_{1s_{1}},b_{2s_{2}},\ldots ,b_{ms_{m}}}
von
0
{\displaystyle {}0}
verschieden sind.