Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/59/Aufgabe/Lösung

1. Jedes nichtkonstante Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
2. Es sei ${}I$ ein reelles Intervall,

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine ${}(n+1)$-mal stetig differenzierbare Funktion und ${}a\in I$ ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte

   $f'(a)=f^{\prime \prime }(a)=\ldots =f^{(n)}(a)=0{\text{ und }}f^{(n+1)}(a)\neq 0.$

   Dann gelten folgende Aussagen.

   1. Wenn ${}n$ gerade ist, so besitzt ${}f$ in ${}a$ kein lokales Extremum.
   2. Sei ${}n$ ungerade. Bei ${}f^{(n+1)}(a)>0$ besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes Minimum.
   3. Sei ${}n$ ungerade. Bei ${}f^{(n+1)}(a)<0$ besitzt ${}f$ in ${}a$ ein isoliertes Maximum.
3. Es sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Es sei

   $g\colon [a,b]\longrightarrow I$

   stetig differenzierbar. Dann gilt

   ${}\int _{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=\int _{g(a)}^{g(b)}f(s)\,ds\,.$

Zur gelösten Aufgabe