Mathematik für Anwender 1/Gemischte Satzabfrage/60/Aufgabe/Lösung

1. Seien ${}a\leq b$ reelle Zahlen und sei ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit ${}f(a)\leq 0$ und ${}f(b)\geq 0$. Dann gibt es ein ${}x\in \mathbb {R}$ mit ${}a\leq x\leq b$ und mit ${}f(x)=0$.
2. Sei ${}I$ ein reelles Intervall und sei

   $f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

   eine stetige Funktion. Dann ist ${}f$ Riemann-integrierbar.
3. Es seien

   $f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

   stetig differenzierbare Funktionen.

   Dann gilt

   $\int _{a}^{b}f(t)g'(t)\,dt=fg|_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(t)g(t)\,dt.$

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