Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/17/Aufgabe/Lösung

1. Eine Differentialgleichung der Form

   ${}y'=g(t)\cdot h(y)\,$

   mit Funktionen (dabei sind ${}I$ und ${}J$ reelle Intervalle)

   $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

   und

   $h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$

   heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

2. Eine Abbildung ${}d\colon M\times M\to \mathbb {R}$ heißt Metrik, wenn für alle ${}x,y,z\in M$ die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
   1. ${}d\left(x,y\right)=0\Longleftrightarrow x=y$ (Definitheit),
   2. ${}d\left(x,y\right)=d(y,x)$ (Symmetrie), und
   3. ${}d\left(x,y\right)\leq d(x,z)+d(z,y)$ (Dreiecksungleichung).
3. Eine polynomiale Funktion ist eine Abbildung

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

   der Gestalt

   ${}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{\nu \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\nu }x_{1}^{\nu _{1}}x_{2}^{\nu _{2}}\cdots x_{n}^{\nu _{n}}\,$

   mit ${}a_{\nu }\in \mathbb {R}$ und wobei nur endlich viele davon von ${}0$ verschieden sind.

4. Ein Vektor ${}v\in V$ mit

   ${}\left\langle v,v\right\rangle >0\,$

   heißt raumartig.

5. Die Abbildung ${}f$ heißt partiell differenzierbar, wenn für jedes ${}i=1,\ldots ,n$ die Abbildung

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,x_{i}\longmapsto f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n}),$

   in ${}a_{i}$ differenzierbar ist.

6. Der Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ heißt kritischer Punkt von ${}\varphi$, wenn

   ${}\operatorname {rang} \,\left(D\varphi \right)_{P}<{\min {\left(n,m\right)}}\,$

   ist.

Zur gelösten Aufgabe