Mathematik für Anwender 2/Gemischte Definitionsabfrage/6/Aufgabe/Lösung

1. Eine Differentialgleichung der Form

   ${}y'=g(t)\cdot h(y)\,$

   mit Funktionen (dabei sind ${}I$ und ${}J$ reelle Intervalle)

   $g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

   und

   $h\colon J\longrightarrow \mathbb {R} ,\,y\longmapsto h(y),$

   heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

2. Unter dem orthogonalen Komplement versteht man den Untervektorraum

   ${}U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,.$

3. Ein Vektor ${}v\in V$ mit

   ${}\left\langle v,v\right\rangle =0\,$

   heißt lichtartig.

4. Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von ${}f$ in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung ${}v_{1},\ldots ,v_{n-1}$ existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung ${}v_{n}$ existiert.
5. Man sagt, dass ${}f$ in einem Punkt ${}x\in M$ ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in M$ mit ${}d(x,x')<\epsilon$ und ${}x'\neq x$ die Abschätzung

   ${}f(x)>f(x')\,$

   gilt.

6. Der Subgraph ist

   ${}S(f)={\left\{(x,y)\in M\times \mathbb {R} \mid 0\leq y\leq f(x)\right\}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe