Mathematik für Anwender 2/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

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  1. Es sei

    eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit stetigen Funktionen

    und

    wobei keine Nullstelle besitze. Es sei eine Stammfunktion von und eine Stammfunktion von . Weiter sei ein Teilintervall mit . Dann ist eine bijektive Funktion auf sein Bild und die Lösungen dieser Differentialgleichung haben die Form

  2. Es seien und zwei reelle Intervalle, es sei

    eine in differenzierbare Funktion und es sei

    eine in differenzierbare Kurve in einen euklidischen Vektorraum . Dann ist auch die zusammengesetzte Kurve

    in differenzierbar und es gilt

  3. Sei offen und sei

    eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei und es sei die Faser durch . Das totale Differential sei surjektiv. Dann gibt es eine offene Menge , , eine offene Menge und eine stetig differenzierbare Abbildung

    derart, dass ist und eine Bijektion

    induziert.