Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/2/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ein Symbolalphabet ${}S$ einer Sprache erster Stufe gegeben und es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{k}$ paarweise verschiedene Variablen und ${}t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte ${}S$-Terme. Es sei eine ${}S$-Interpretation ${}I$ gegeben. Dann gelten folgende Aussagen.
   1. Für jeden ${}S$-Term ${}s$ gilt

      ${}I\left(s{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)=\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)(s)\,.$

   2. Für jeden ${}S$-Ausdruck ${}\alpha$ gilt

      $I\vDash \alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}{\text{ genau dann, wenn }}{\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}\vDash \alpha .$

2. Die Menge

   ${\left\{n\in \mathbb {N} \mid n{\text{ ist die Nummer eines Registerprogramms }}P{\text{ und }}P(0){\text{ hält an}}\right\}}$

   ist nicht

   ${}R$-entscheidbar.
3. Es sei ${}\Gamma \subseteq L^{\rm {Ar}}$ eine Menge von arithmetischen Ausdrücken, die Repräsentierungen erlaube. Dann gibt es zu jedem ${}\alpha \in L_{1}^{\rm {Ar}}$ einen Satz ${}q\in L_{0}^{\rm {Ar}}$ mit

   $\Gamma \vdash q\longleftrightarrow \alpha (GN(q)).$

Zur gelösten Aufgabe