Mathematische Logik/Gemischte Satzabfrage/4/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ein Symbolalphabet ${}S$ einer Sprache erster Stufe gegeben und es seien ${}x_{1},\ldots ,x_{k}$ paarweise verschiedene Variablen und ${}t_{1},\ldots ,t_{k}$ fixierte ${}S$-Terme. Es sei eine ${}S$-Interpretation ${}I$ gegeben. Dann gelten folgende Aussagen.
   1. Für jeden ${}S$-Term ${}s$ gilt

      ${}I\left(s{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)=\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)(s)\,.$

   2. Für jeden ${}S$-Ausdruck ${}\alpha$ gilt

      $I\vDash \alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}{\text{ genau dann, wenn }}{\left(I{\frac {I(t_{1}),\ldots ,I(t_{k})}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\right)}\vDash \alpha .$

2. Es sei ${}M$ eine Menge mit einem fixierten Element ${}s\in M$ und einer Abbildung ${}F\colon M\rightarrow M$. Dann gibt es genau eine Abbildung

   $\varphi \colon N\longrightarrow M,\,n\longmapsto \varphi (n),$

   die die beiden Eigenschaften

   $\varphi (0)=s{\text{ und }}\varphi (n^{\prime })=F(\varphi (n)){\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$

   erfüllt.
3. Es sei ${}\Gamma$ eine Menge von modallogischen Ausdrücken und ${}\alpha$ ein modallogischer Ausdruck. Dann ist

   $\Gamma \vdash \alpha$

   genau dann, wenn

   $\Gamma \vDash \alpha .$

Zur gelösten Aufgabe