Matrix/Äquivalent/Eigenwert/Fakt

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$ -Matrix über einem Körper ${}K$ und es sei ${}B$ eine invertierbare ${}n\times n$ -Matrix. Es sei ${}a\in K$ .

Dann ist ein ${}n$ -Tupel ${}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$ genau dann ein Eigenvektor von ${}M$ zum Eigenwert ${}a$ , wenn

${}{\begin{pmatrix}x'_{1}\\\vdots \\x'_{n}\end{pmatrix}}=B{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,$

ein Eigenvektor zur Matrix ${}BMB^{-1}$ zum Eigenwert ${}a$ ist. Insbesondere besitzen ${}M$ und ${}BMB^{-1}$ die gleichen Eigenwerte.