Die Bedingung
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![{\displaystyle {}{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609128ca7328d0abe69c045e42cd5098625fc28a)
bedeutet ausgeschrieben
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![{\displaystyle {}xa+yc=1\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f96d9f06bf41962fad8b557f1ccde68087f649fe)
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![{\displaystyle {}xb+yd=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe440e345b2660d2f5a6669833c84b74fb9fcbe5)
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![{\displaystyle {}za+wc=0\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a21b29f17b22a8f8d1c157415820a73e471769)
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![{\displaystyle {}zb+wd=1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffbb7ecab97f6aa79cc4a65f28ca99b693b2c27)
Wegen der ersten und der vierten Gleichung sind
und
.
Aus der zweiten Gleichung folgt nach
Fakt,
dass es ein
gibt mit
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![{\displaystyle {}x=sd\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/832de257d0112e1ee7ae1681225bb27f57f5a73f)
und
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![{\displaystyle {}y=-sb\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04f899ec380db7eab9f7fe153558ca292d1f4abf)
Aus der ersten Gleichung ergibt sich
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![{\displaystyle {}1=sda-sbc=s(da-bc)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79552fe7f885b967461a3f41acbcc0282dc869f4)
und somit
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![{\displaystyle {}s={\frac {1}{da-bc}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76f429a72cafc3e38a97aee1424ccbab31852537)
und
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![{\displaystyle {}x={\frac {d}{da-bc}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64a948cd56ec2e31e730f252664c3f610457f61c)
und
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![{\displaystyle {}y=-{\frac {b}{da-bc}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1dc0b1d283c7df2dd2b5dc5bfcb4543d267a10c)
Aus der dritten Gleichung folgt, dass es ein
gibt mit
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![{\displaystyle {}z=tc\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c4deecfedf0b08b20c2c540dc49321e4bbdb2fc)
und
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![{\displaystyle {}w=-ta\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8cc0b2a2a80528c065a2ccbe7408d1f23382ed8)
Aus der vierten Gleichung ergibt sich
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![{\displaystyle {}1=tcb-tad=-t(da-bc)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/440f24feb34b6ba64ee7959f8af91bd0e72d42c2)
und somit
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![{\displaystyle {}t=-{\frac {1}{da-bc}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83236605d98c7845d99a78790e305db0517f55ad)
und
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![{\displaystyle {}z=-{\frac {c}{da-bc}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4e0ffcf507897b4f4b45b0d4003b222aa9d699f)
und
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![{\displaystyle {}w={\frac {a}{da-bc}}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f87cbd51d753c4634cd1c657b2be7a8faf2eac3)
Somit ist
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}M\circ A&={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}{\frac {d}{da-bc}}&-{\frac {b}{da-bc}}\\-{\frac {c}{da-bc}}&{\frac {a}{da-bc}}\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{da-bc}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{da-bc}}{\begin{pmatrix}ad-bc&-ab+ab\\cd-cd&-cb+da\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{da-bc}}{\begin{pmatrix}ad-bc&0\\0&-cb+da\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcf822b9a0b6bfcc6014b3aaf48783398541fd3f)