Matrix/2/Trigonalisierbar/Eigenwert/Aufgabe/Lösung

Wenn ${}M$ trigonalisierbar ist, so zerfällt das charakteristische Polynom zu ${}M$ in Linearfaktoren und hat somit insbesondere Nullstellen, welche wiederum Eigenwerte sind, wozu auch Eigenvektoren gehören. Wenn umgekehrt ${}M$ einen Eigenvektor besitzt, so auch einen Eigenwert und damit besitzt das charakteristische Polynom eine Nullstelle, sagen wir ${}\lambda$. Dies bedeutet, dass das charakteristische Polynom ${}\chi _{M}$ von ${}X-\lambda$ geteilt wird. Es ist also

${}\chi _{M}=(X-\lambda )Q\,.$

Da das charakteristische Polynom den Grad ${}2$ besitzt, muss der andere Faktor ${}Q$ ebenfalls ein Linearfaktor sein. Somit zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren und ${}M$ ist trigonalisierbar.

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