Matrix/2/Trigonalisierbar/Eigenwert/Aufgabe/Lösung

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Wenn trigonalisierbar ist, so zerfällt das charakteristische Polynom zu in Linearfaktoren und hat somit insbesondere Nullstellen, welche wiederum Eigenwerte sind, wozu auch Eigenvektoren gehören. Wenn umgekehrt einen Eigenvektor besitzt, so auch einen Eigenwert und damit besitzt das charakteristische Polynom eine Nullstelle, sagen wir . Dies bedeutet, dass das charakteristische Polynom von geteilt wird. Es ist also

Da das charakteristische Polynom den Grad besitzt, muss der andere Faktor ebenfalls ein Linearfaktor sein. Somit zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren und ist trigonalisierbar.
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