Das
charakteristische Polynom
zu
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ist
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Es zerfällt also in Linearfaktoren mit verschiedenen Nullstellen und daher ist die Matrix diagonalisierbar. Die Eigenwerte sind
. Es ist
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![{\displaystyle {}2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}6&1&0\\0&2&4\\0&0&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4&-1&0\\0&0&-4\\0&0&-5\end{pmatrix}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d17e233736e61328e0cfcac2d0dd5b8cb773803)
ein Eigenvektor zum Eigenwert
ist
. Ferner ist
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![{\displaystyle {}6{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}6&1&0\\0&2&4\\0&0&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&4&-4\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/928b7e5029d76daf3212fb18062975aae3270f92)
ein Eigenvektor zum Eigenwert
ist
. Schließlich ist
-
![{\displaystyle {}7{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}6&1&0\\0&2&4\\0&0&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&5&-4\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffc808634f61bd80df99ee22defa7032e837293a)
ein Eigenvektor zum Eigenwert
ist
. Eine Basis aus Eigenvektoren ist also
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