Matrix/Endliche Ordnung/Stabil/Aufgabe/Lösung

Da ${}\varphi$ endliche Ordnung besitzt, gibt es ein ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}\varphi ^{k}=\operatorname {Id} _{V}$. Damit ist auch

${}\varphi ^{n+k}=\varphi ^{n}\,$

für alle ${}n$ und somit kommen in der Potenzfolge ${}\varphi ^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, überhaupt nur endlich viele verschiedene Endomorphismen vor. Es sei ${}m={\max {\left(\Vert {\varphi ^{n}}\Vert ,0\leq n<k\right)}}$. Dann ist

${}\Vert {\varphi ^{n}}\Vert \leq m\,$

für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und somit ist die Folge normbeschränkt, also

stabil.

Zur gelösten Aufgabe