Matrix/Endliche Ordnung/Stabil/Aufgabe/Lösung

Da ${}\varphi$ endliche Ordnung besitzt, gibt es ein  ${}k\in \mathbb {N} _{+}$  mit  ${}\varphi ^{k}=\operatorname {Id} _{V}$.  Damit ist auch

${}\varphi ^{n+k}=\varphi ^{n}\,$

für alle ${}n$ und somit kommen in der Potenzfolge ${}\varphi ^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, überhaupt nur endlich viele verschiedene Endomorphismen vor. Es sei  ${}m={\max {\left(\Vert {\varphi ^{n}}\Vert ,0\leq n<k\right)}}$.  Dann ist

${}\Vert {\varphi ^{n}}\Vert \leq m\,$

für alle  ${}n\in \mathbb {N}$  und somit ist die Folge normbeschränkt, also

stabil.

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