Matrix/Endliche Ordnung/Stabil/Aufgabe/Lösung

Da $\phi$ endliche Ordnung besitzt, gibt es ein  $k\in {\mathbb{N}}_{+}$  mit  ${\phi }^k={\mathrm{Id}}_V$.  Damit ist auch

${\phi }^{n+k}={\phi }^n$

für alle $n$ und somit kommen in der Potenzfolge ${\phi }^n$, $n\in \mathbb{N}$, überhaupt nur endlich viele verschiedene Endomorphismen vor. Es sei  $m=max(\Vert {\phi }^n\Vert ,0\le n<k)$.  Dann ist

$\Vert {\phi }^n\Vert \le m$

für alle  $n\in \mathbb{N}$  und somit ist die Folge normbeschränkt, also

stabil.

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