Matrix/Nulltest mit Rang 1/Links/Aufgabe/Lösung

Es sei

${}M\neq 0\,$

angenommen. Dann gibt es einen Vektor ${}v\in K^{n}$ mit

${}Mv=w\neq 0\,.$

Wir ergänzen ${}w$ zu einer Basis

$w=w_{1},w_{2},\ldots ,w_{n}$

von ${}K^{n}$. Es sei ${}N$ die Matrix bezüglich der Standardbasis, die die durch ${}w\mapsto w$ und ${}w_{i}\mapsto 0$ für ${}i\geq 2$ festgelegte lineare Abbildung beschreibt. Der Rang von ${}N$ ist ${}1$, da ja das Bild gerade ${}Kw$ ist, und es ist

${}NMv=Nw=w\neq 0\,,$

also ist

${}NM\neq 0\,$

im Widerspruch zur Voraussetzung.

Zur gelösten Aufgabe