Matrix/R/Abbildung/Beispiel

Es sei eine $m \times n$ -Matrix

(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix})

gegeben, wobei die Einträge $a_{i j}$ reelle Zahlen seien. Eine solche Matrix definiert eine Abbildung

φ : ℝ^{n} ⟶ ℝ^{m},

indem ein $n$ -Tupel $x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) \in ℝ^{n}$ auf das $m$ -Tupel

φ (x) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} \\ ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \sum_{j = 1}^{n} a_{1 j} x_{j} \\ \sum_{j = 1}^{n} a_{2 j} x_{j} \\ ⋮ \\ \sum_{j = 1}^{n} a_{m j} x_{j} \end{matrix})

abgebildet wird. Die $i$ -te Komponente des Bildvektors ergibt sich also als

y_{i} = (a_{i 1}, a_{i 2}, \dots, a_{i n}) (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}) = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} x_{j},

man muss also die $i$ -te Zeile der Matrix in der beschriebenen Weise auf den Spaltenvektor $x$ anwenden.