Matrix/x^2+x -x -x^3+2x^2+5x-1 x^2-x/x invertierbar/Aufgabe/Lösung

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ${}\neq 0$ ist. Die Determinante der Matrix ist

${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}x^{2}+x&-x\\-x^{3}+2x^{2}+5x-1&x^{2}-x\end{pmatrix}}&=(x^{2}+x)(x^{2}-x)+x(-x^{3}+2x^{2}+5x-1)\\&=x^{4}-x^{2}-x^{4}+2x^{3}+5x^{2}-x\\&=2x^{3}+4x^{2}-x\\&=x(2x^{2}+4x-1).\end{aligned}}$

Dies ist gleich ${}0$ bei ${}x_{1}=0$ oder bei ${}2x^{2}+4x-1=0$. Diese quadratische Gleichung ist äquivalent zu ${}x^{2}+2x-{\frac {1}{2}}=0$ bzw. zu

${}(x+1)^{2}-1-{\frac {1}{2}}=0\,.$

Also ist

${}x+1=\pm {\sqrt {\frac {3}{2}}}\,$

und damit

$x_{2}={\sqrt {\frac {3}{2}}}-1{\text{ und }}x_{3}=-{\sqrt {\frac {3}{2}}}-1.$

Die einzigen komplexen Zahlen, bei denen die Matrix nicht invertierbar ist, sind also

$0,\,{\sqrt {\frac {3}{2}}}-1,\,-{\sqrt {\frac {3}{2}}}-1.$

Zur gelösten Aufgabe