Matrix/x^2+x -x -x^3+2x^2+5x-1 x^2-x/x invertierbar/Aufgabe/Lösung

Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante $\neq 0$ ist. Die Determinante der Matrix ist

\begin{matrix} det (\begin{matrix} x^{2} + x & - x \\ - x^{3} + 2 x^{2} + 5 x - 1 & x^{2} - x \end{matrix}) & = (x^{2} + x) (x^{2} - x) + x (- x^{3} + 2 x^{2} + 5 x - 1) \\ = x^{4} - x^{2} - x^{4} + 2 x^{3} + 5 x^{2} - x \\ = 2 x^{3} + 4 x^{2} - x \\ = x (2 x^{2} + 4 x - 1) . \end{matrix}

Dies ist gleich $0$ bei $x = 0$ , was die Lösung $x_{1} = 0$ ergibt, oder bei $2 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ . Diese quadratische Gleichung ist äquivalent zu $x^{2} + 2 x - \frac{1}{2} = 0$ bzw. zu

(x + 1)^{2} - 1 - \frac{1}{2} = 0 .

Also ist

x + 1 = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}

und damit

x_{2} = \sqrt{\frac{3}{2}} - 1 und x_{3} = - \sqrt{\frac{3}{2}} - 1.

Die einzigen komplexen Zahlen, bei denen die Matrix nicht invertierbar ist, sind also

0, \sqrt{\frac{3}{2}} - 1, - \sqrt{\frac{3}{2}} - 1.

Zur gelösten Aufgabe