Matrizen/2x2/Körper/Links oben/Ringhomomorphismus/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}\varphi (a+b)={\begin{pmatrix}a+b&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b&0\\0&0\end{pmatrix}}=\varphi (a)+\varphi (b)\,,$

die Abbildung ist also mit der Addition verträglich.

Es ist

${}\varphi (a\cdot b)={\begin{pmatrix}a\cdot b&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b&0\\0&0\end{pmatrix}}=\varphi (a)\cdot \varphi (b)\,,$

die Abbildung ist also mit der Multiplikation verträglich.

Es ist

${}\varphi (1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,,$

die Abbildung bildet also nicht die ${}1$ auf die ${}1$ ab. Insgesamt liegt kein Ringhomomorphismus vor.

Zur gelösten Aufgabe