Matrizen/3x3/Nullen an geraden Stellen/Multiplikation/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{pmatrix}a&0&b\\0&c&0\\d&0&e\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}f&0&g\\0&h&0\\i&0&j\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}af+bi&0&ag+bj\\0&ch&0\\df+ei&0&dg+ej\end{pmatrix}}\,.$

2. Die Multiplikation ist nicht kommutativ. Wenn man oben die Reihenfolge vertauscht, ergibt sich als Eintrag links oben ${}af+gd$ und nicht ${}af+bi$.
3. Die Determinante von ${}{\begin{pmatrix}a&0&b\\0&c&0\\d&0&e\end{pmatrix}}$ ist gleich ${}c(ae-db)$.
4. Die Matrix

   ${\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}$

   ist nicht invertierbar, da die erste und die dritte Zeile übereinstimmen.

5. Es sei ${}{\begin{pmatrix}a&0&b\\0&c&0\\d&0&e\end{pmatrix}}$ invertierbar. Dann ist zunächst ${}c\neq 0$. Ferner ist ${}ae-bd\neq 0$, da die Determinante gleich ${}c(ae-db)$ ist. Es ist

   ${}{\begin{pmatrix}a&0&b\\0&c&0\\d&0&e\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e&0&-b\\0&(ae-bd)c^{-1}&0\\-d&0&a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ae-bd&0&0\\0&ae-bd&0\\0&0&ae-bd\end{pmatrix}}\,.$

   Somit ist

   ${\frac {1}{ae-bd}}{\begin{pmatrix}e&0&-b\\0&(ae-bd)c^{-1}&0\\-d&0&a\end{pmatrix}}$

   die inverse Matrix und diese ist wieder von diesem Typ.

Zur gelösten Aufgabe