Matrizen/Anwendung/R/Abbildung/Beispiel

Es sei eine ${}m\times n$-Matrix

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}$

gegeben, wobei die Einträge ${}a_{ij}$ reelle Zahlen seien. Eine solche Matrix definiert eine Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m},$

indem ein ${}n$-Tupel ${}x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}$ auf das ${}m$-Tupel

${}\varphi (x)={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j}\\\sum _{j=1}^{n}a_{2j}x_{j}\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j}\end{pmatrix}}\,$

abgebildet wird. Die ${}i$-te Komponente des Bildvektors ergibt sich also als

${}y_{i}=\left(a_{i1},\,a_{i2},\,\ldots ,\,a_{in}\right){\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\,,$

man muss also die ${}i$-te Zeile der Matrix in der beschriebenen Weise auf den Spaltenvektor ${}x$ anwenden.