Matrizen und lineare Abbildungen/Aufgabe

Es sei die lineare Abbildung ${}f\colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{4}$ durch ${}f(x,y,z)=(x+2z,y-z,x+y,2x+3z)$ definiert.

1. Bestimme die zu ${}f$ korrespondierende Matrix ${}A$. Ist ${}f$ injektiv?
2. Es sei ${}{\mathcal {B}}=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$ eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{3}$ gegeben durch

   $v_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},\,v_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}},\,v_{3}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$

   und sei ${}{\mathcal {B}}'=\{w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}\}$ eine Basis des ${}\mathbb {R} ^{4}$ gegeben durch

   $w_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\1\end{pmatrix}},\,w_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\\0\end{pmatrix}}\,,w_{3}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}},\,w_{4}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.$

   Berechne ${}A_{{\mathcal {B}}'}^{\mathcal {B}}(f)$.

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