Matrizenraum/Direkte Summe der Spaltenräume/Aufgabe

Zeige, dass der Raum der ${}m\times n$-Matrizen über einem Körper ${}K$ die direkte Summe aus den Spaltenräumen ${}S_{j}$, ${}j=1,\ldots ,n$, ist, wobei der ${}j$-te Spaltenraum aus denjenigen ${}m\times n$-Matrizen besteht, die in der ${}j$-ten Spalte beliebige Einträge und sonst überall den Eintrag ${}0$ besitzen. Man gebe die direkte Summenzerlegung für die ${}3\times 4$-Matrix

${\begin{pmatrix}-3&8&10&-2\\2&6&4&5\\5&3&0&7\end{pmatrix}}$

an.

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