Matrizenring/Über kommutativem Ring/Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}n\in \mathbb {N}$. Wie aus der linearen Algebra bekannt (zumindest für den Fall ${}R=\mathbb {R}$) beschreiben ${}n\times n$-Matrizen lineare Abbildungen von ${}R^{n}$ nach ${}R^{n}$. Die Matrizenverknüpfung (gemäß der Regel „Zeile mal Spalte“) definiert dabei die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen. Die Addition von Matrizen, die komponentenweise für jeden Eintrag erklärt ist, beschreibt die Summe von linearen Abbildungen. Mit diesen zwei Verknüpfungen und mit der Nullmatrix als Nullelement und der Einheitsmatrix als Einselement bildet die Menge der Matrizen einen (nicht-kommutativen) Ring, den sogenannten Matrizenring über ${}R$. Er wird mit ${}\operatorname {Mat} _{n}(R)\,$ bezeichnet.