Maxima CAS/Kurven in Vektorräumen

Kurven im $\mathbb {R} ^{n}$

Einführung

Kurve eines Kreises

Definition:

Man versteht unter einer Kurve im $\mathbb {R} ^{n}$ eine stetige Abbildung $f$: $I$ → $\mathbb {R} ^{n}$, wobei $I$ ⊂ $\mathbb {R}$ ein Intervall ist.

Veranschaulichung: einen Kreis mit dem Radius 1 in der Ebene beschreibt folgende Kurve:

$f$: [0;2π] → $\mathbb {R} ^{2}$ ,t→(cos(t), sin(t))

Bemerkung

Bezogen auf Lehrerbildung und den Orbits von Planeten nach Kopernikus findet man weitere Informationen zum Einsatz im Unterricht von Rosenkrantz (2004).

Drehung von Kurven in Vektorräumen

Mithilfe von Drehmatrizen, auch Rotationsmatrizen genannt, kann man Vektoren um einen bestimmten Winkel im euklidischen Raum durch Multiplikation um den Ursprung drehen.

Herleitung der Drehmatrix der Ebene

Herleitung Drehmatrix

Veranschaulichung der Herleitung von Drehmatrizen in der Ebene

Man zeichnet im Koordinatensystem den Einheitsvektor u_x=(0,1) ein. Diesen Vektor dreht man gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel $\phi$. Dadurch entsteht der Bildvektor u_x'.

Durch Ablesen der Werte erhalten wir die Koordinaten des Bildvektors u_x'= (cos($\phi$), sin($\phi$))

Dasselbe führen wir jetzt mit dem Einheitsvektor u_y=(1,0) durch. Diesen dreht man wiederum im Uhrzeigersinn im den Winkel $\phi$.

Dadurch entsteht der Bildvektor u_y' mit den Koordinaten u_y'=(-sin($\phi$), cos($\phi$)).

Wenn man eine beliebige 2*2 Matrix mit den oben genannten Einheitsvektoren multipliziert, erhält man die einzelnen Spalten der Matrix:

${\begin{pmatrix}a_{11}\ a_{12}\\a_{21}\ a_{22}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{pmatrix}}$

${\begin{pmatrix}a_{11}\ a_{12}\\a_{21}\ a_{22}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\end{pmatrix}}$
Daraus lässt sich nun folgern, dass die eben berechneten Bildvektoren die Spalten der Matrix bilden.

$R_{\phi }={\begin{pmatrix}cos(\phi )&-sin(\phi )\\sin(\phi )&cos(\phi )\end{pmatrix}}$

Anwendung Drehmatrizen in wxMaxima

Drehmatrizen im Dreidimensionalen

Wenn man eine Kurve rotieren will, die im Raum liegt, benötigt man die Drehmatrizen im $\mathbb {R} ^{3}$. Da man die die Kurve sowohl um die x-Achse als auch um die y-Achse als auch um die z-Achse drehen kann, gibt es für jede der drei Achsen eine Drehmatrizen im $\mathbb {R} ^{3}$.

Folgendermaßen lautet die Drehmatrix im $\mathbb {R} ^{3}$, um um die x-Achse zu drehen: $R_{x}(\phi )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&cos(\phi )&-sin(\phi )\\0&sin(\phi )&cos(\phi )\end{pmatrix}}$

Folgendermaßen lautet die Drehmatrix im $\mathbb {R} ^{3}$, um um die y-Achse zu drehen: $R_{y}(\phi )={\begin{pmatrix}cos(\phi )&0&sin(\phi )\\0&1&0\\-sin(\phi )&0&cos(\phi )\end{pmatrix}}$

Folgendermaßen lautet die Drehmatrix im $\mathbb {R} ^{3}$, um um die z-Achse zu drehen: $R_{z}(\phi )={\begin{pmatrix}cos(\phi )&-sin(\phi )&0\\sin(\phi )&cos(\phi )&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

Drehmatrizen: Anderer Drehpunkt als der Ursprung

Beispielbild zu Herleitung von Drehungen um gegebenen Punkt

In der Einführung zu Drehmatrizen wurde erwähnt, dass man mithilfe von Drehmatrizen nur um den Ursprung drehen kann. Wie muss man nun aber vorgehen, wenn der gewollte Drehpunkt nicht im Ursprung liegt?

In dem Beispielbild will man den Vektor ${\vec {w}}$ um den Punkt $A$ drehen. Um dies zu machen, muss man, den Vektor in den Ursprung verschieben, dann drehen, und wieder zurückverschieben. Das schafft man rechnerisch folgendermaßen: Man subtrahiert vom Vektor ${\vec {v}}$ den Vektor ${\vec {u}}$ und dreht diesen, dann addiert man wieder den Vektor ${\vec {u}}$.

$R_{\vec {w}}({\vec {v}}-{\vec {u}})+{\vec {u}}=R_{\vec {w}}({\vec {w}})+{\vec {u}}={\vec {w'}}$

So ergibt sich eine lineare Abbildung, mit der man für einen beliebigen Vektor ${\vec {x}}$, diesen um den einen nicht im Ursprung liegenden Drehpunkt drehen kann: $f({\vec {x}})=R\cdot {\vec {x}}+{\vec {b}}$. Hierbei ist $R$ die Rotationsmatrix, ${\vec {x}}$ der Vektor, der gedreht wird und ${\vec {b}}$ der Vektor um dessen Endpunkt gedreht wird.