Maxima CAS/Partielle Ableitung

Die blauen Formeln beschreiben die Eingaben und schwarz sind jeweiligen Ausgaben von Maxima. Berechnet wird hier die Partielle Ableitung von einer Funktion

$f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \qquad (x,y)\mapsto x^{2}\cdot y+y^{4}$

bei der die beiden reelen Zahlen x und y auf $f(x,y)\in \mathbb {R}$ abgebildet werden. Die Berechnung der partiellen Ableitungen ${\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{o},y_{o})$ in Maxim einer Berechnung nicht berücksichtigt:

----> f(x,y):= x^2*y + y^4;

(%o1) $f(x,y):=x^{2}\cdot y+y^{4}$

Die partiellen Ableitungen nach $x$ bzw. $y$ werden wie folgt berechnet:

----> diff(f(x,y),x)

(%o2) ${\frac {\partial {f}}{\partial {x}}}(x,y):=2\cdot x\cdot y$

----> diff(f(x,y),y)

(%o3) ${\frac {\partial {f}}{\partial {y}}}(x,y):=x^{2}+4\cdot y^{3}$

Aufgabe

• Berechnen Sie den Gradienten der Funktion $F(x,y):=cos(x)+sin(y)$ in Maxima und definieren Sie eine weitere Funktion $GradF(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ die als Vektor den Gradienten an der Stelle $(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ angibt.
• Zeichnen Sie in Geogebra einen Punkt $A\in \mathbb {R} ^{2}$ und ergänzen Sie zu dem Punkt den Gradienten als Vektor, der für die Funktion $F(x,y):=cos(x)+sin(y)$ an der Stelle $A=(x(A),y(A))$ den Gradienten als Vektor zwischen den Punkt $A$ und $B:=A+(GradF(x(A),y(A)))\in \mathbb {R} ^{2}$ zeichnet.

Ableitungen als Funktion definieren

In dem folgenden Beispiel wird eine partielle Ableitung als Funktion $g_{1}(x,y)$ mit zwei Veränderlichen definiert:

----> define(g1(x,y),diff(f(x,y),y))

(%o4) $g_{1}(x,y):=x^{2}+4\cdot y^{3}$

Diese kann man nun an der Stelle $(1,-1)\in \mathbb {R} ^{2}$ mit $g_{1}(1,-1)=-3\in \mathbb {R}$ auswerten.