Mechanisch definierte Kurven/Stangenkonfiguration/Kreis und tangentiale Gerade/Zweidimensionale Interpretation/Aufgabe/Lösung

Mit

$P_{1}=(x_{1},1){\text{ und }}P_{2}=(x_{2},y_{2})$

gelangt man zu den beiden Bedingungen

1. ${}x_{2}^{2}+y_{2}^{2}=1$
2. ${}(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-1)^{2}=4$.

Wir ziehen die erste Gleichung von der zweiten ab und erhalten

${}{\begin{aligned}0&=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-1)^{2}-4-(x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-1)\\&=x_{2}^{2}+x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+y_{2}^{2}-2y_{2}+1-4-x_{2}^{2}-y_{2}^{2}+1\\&=x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}-2y_{2}-2.\end{aligned}}$

Diese Gleichung ist zusammen mit der Einheitskreisgleichung äquivalent zum Ausgangssystem. Mit dieser neuen zweiten Gleichung kann man ${}y_{2}$ mittels

${}y_{2}={\frac {1}{2}}x_{1}^{2}-x_{1}x_{2}-1\,$

eliminieren. Das System kann also allein in den Variablen ${}x_{1}$ und ${}x_{2}$ beschrieben werden, und zwar als Nullstellenmenge des Polynoms

${}{\begin{aligned}x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-1&=x_{2}^{2}+{\left({\frac {1}{2}}x_{1}^{2}-x_{1}x_{2}-1\right)}^{2}-1\\&=x_{2}^{2}+{\frac {1}{4}}x_{1}^{4}+x_{1}^{2}x_{2}^{2}+1-x_{1}^{3}x_{2}-x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}-1\\&={\frac {1}{4}}x_{1}^{4}-x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}^{2}x_{2}^{2}-x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}.\end{aligned}}$

Zur gelösten Aufgabe