Mechanische ebene Kurven/Stangenkoppelung/asymptotisch koppelungsfrei/Trajektorie ist beschränkt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}d$ der Koppelungsabstand des zugehörigen mechanischen Systems und sei ${}P$ ein Punkt der bewegten Stange (oder Ebene), dessen Trajektorie wir untersuchen. Es sei ${}\epsilon >0$ das Maximum der Abstände von ${}P$ zu den beiden Koppelungspunkten. Zu ${}d$ gibt es aufgrund der Definition von asymptotisch koppelungsfrei ein ${}b>0$ derart, dass es außerhalb der Ballumgebung kein Punktepaar gibt mit Abstand ${}d$. Bei jeder erlaubten Konfiguration des mechanischen System muss also mindestens ein Koppelungspunkt innerhalb der Ballumgebung liegen, sagen wir ${}P_{2}'$. Dann gilt für den zugehörigen Bildpunkt ${}P'$ von ${}P$ zu dieser Konfiguration die Abschätzung

${}d(P',0)\leq d(P',P_{1}')+d(P_{1}',P_{2}')+d(P_{2}',0)\leq \epsilon +d+b\,.$

D.h. also alle Trajektorienpunkte liegen in einer beschränkten Umgebung.

Zur bewiesenen Aussage