Menge/Bijektive Abbildungen/Gruppen/Beispiel

Es sei ${}X$ eine Menge und es sei ${}M$ die Menge aller bijektiven Abbildungen von ${}X$ nach ${}X$. Die Hintereinanderschaltung von Abbildungen führt zu einer Verknüpfung auf ${}M$, die nach Fakt assoziativ ist. Die Identität auf ${}X$, also die Abbildung, die jedes Element auf sich selbst abbildet, wird mit ${}\operatorname {Id} _{X}$ bezeichnet. Es ist offenbar

${}\operatorname {Id} _{X}\circ F=F=F\circ \operatorname {Id} _{X}\,$

für eine beliebige Abbildung

$F\colon X\longrightarrow X,$

daher ist ${}\operatorname {Id} _{X}$ das neutrale Element von ${}M$. Zu jeder bijektiven Abbildungen

$F\colon X\longrightarrow X$

gibt es die Umkehrabbildung ${}F^{-1}$, daher ist

${}F\circ F^{-1}=\operatorname {Id} _{X}=F^{-1}\circ F\,,$

und somit gibt es zu jedem ${}F\in M$ ein inverses Element. Insgesamt ist also ${}M$ eine Gruppe.