Menge/Endliche Teilmengen/Rekursiv/Erfüllt Peanoaxiome/Fakt/Beweis

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Beweis

Zunächst ist nicht Nachfolger einer Anzahlklasse . Denn andernfalls gebe es eine Teilmenge und ein Element , und eine Bijektion

Eine solche Abbildung kann es aber nicht geben, da es keinen möglichen Wert für gibt.

Um zu zeigen, dass die Nachfolgerabbildung injektiv ist, seien Anzahlklassen und gegeben mit

D.h. es gibt Elemente mit und und eine Bijektion

Es sei . Bei kann man eine Bijektion

konstruieren, die und vertauscht. Dann ist eine Bijektion der beiden Mengen, die auf schickt. Wir können also von vornherein annehmen, dass ist. Dann stiftet eingeschränkt auf eine Bijektion zwischen und , so dass ist.

Zum Nachweis der Induktionseigenschaft sei eine Teilmenge, die und mit jeder Anzahl auch die Nachfolgeranzahl enthält. Wir müssen zeigen, dass für jede endliche Menge die zugehörige Anzahlklasse zu gehört. Dies beweisen wir über den induktiven Aufbau der endlichen Mengen. Wenn ist, so ist nach Voraussetzung. Es sei die Aussage nun schon für eine Menge bewiesen und sei , mit der Erweiterungsmenge . Dann gibt es eine Bijektion

mit . Nach Voraussetzung ist auch . Es sei , , so dass gilt. Die Bijektion kann man fortsetzen zu einer Bijektion

Daher ist