Zunächst ist
nicht Nachfolger einer Anzahlklasse
. Denn andernfalls gebe es eine Teilmenge
und ein Element
,
und eine
Bijektion
-
Eine solche Abbildung kann es aber nicht geben, da es keinen möglichen Wert für
gibt.
Um zu zeigen, dass die Nachfolgerabbildung injektiv ist, seien Anzahlklassen
und
gegeben mit
-
![{\displaystyle {}[T_{1}]'=[T_{2}]'\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c358af89cbf2db4b7f262cc42bfb33fa045e2255)
D.h. es gibt Elemente
mit
und
und eine
Bijektion
-
Es sei
. Bei
kann man eine Bijektion
-
konstruieren, die
und
vertauscht. Dann ist
eine Bijektion der beiden Mengen, die
auf
schickt. Wir können also von vornherein annehmen, dass
ist. Dann stiftet
eingeschränkt auf
eine Bijektion zwischen
und
,
so dass
ist.
Zum Nachweis der Induktionseigenschaft sei
eine Teilmenge, die
und mit jeder Anzahl
auch die Nachfolgeranzahl
enthält. Wir müssen zeigen, dass für jede endliche Menge
die zugehörige Anzahlklasse
zu
gehört. Dies beweisen wir über den induktiven Aufbau der endlichen Mengen. Wenn
ist, so ist
nach Voraussetzung. Es sei die Aussage nun schon für eine Menge
bewiesen und sei
,
mit der Erweiterungsmenge
. Dann gibt es eine Bijektion
-
mit
![{\displaystyle {}[T]\in U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d38f709209f7ce3f2d1ee8a56e4c593d6938108)
. Nach Voraussetzung ist auch
![{\displaystyle {}[T]'\in U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9f9b72c3ff1a2bb8407840cdee6fe819cd441e7)
. Es sei

,

, so dass
![{\displaystyle {}[T]'=[T\cup \{y\}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f6fbad2a9ac5b2c93d3d409ee1b60e1b571ab63)
gilt. Die Bijektion

kann man fortsetzen zu einer Bijektion
-
Daher ist
-
![{\displaystyle {}[S\cup \{x\}]=[T\cup \{y\}]=[T]'\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b8f81f97888be015eee639dd571da0dbb3fed1)