Mengen/M,N,L/Abb(MxN,L) und Abb(M,Abb(N,L))/Bijektion/Aufgabe/Kommentar

Seien ${}M,N,L$ Mengen. Stifte eine Bijektion zwischen

$\operatorname {Abb} \,{\left(M\times N,L\right)}\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Abb} \,{\left(M,\operatorname {Abb} \,{\left(N,L\right)}\right)}.$

Das sieht schon ganz schön verschachtelt aus. Es gibt drei Menge, es taucht die Produktmenge auf und Abbildungsmengen, wobei rechts sogar eine verschachtelte Abbildungsmenge steht, also eine Abbildungsmenge zwischen zwei Mengen, bei der die zweite Menge selbst eine Abbildungsmenge ist. Aufgabe ist von einer ähnlichen Komplexität.

Es ist zwar nur nach einer Bijektion gefragt, man hat aber eigentlich nur eine Chance, wenn man eine natürliche Bijektion mit einer inhaltlichen Bedeutung findet. Wie geht man so etwas an? Am Besten nimmt man sich ein Objekt links her, also eine Abbildung von ${}M\times N$ nach ${}L$, und überlegt sich, was für ein Objekt man diesem rechts zuordnet. Dem Objekt gibt man erst mal einen Namen

$f\colon M\times N\longrightarrow L.$

Dazu wollen wir eine Abbildung

$M\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(N,L\right)}$

assoziieren. Dies bedeutet wiederum, dass jedem ${}x\in M$ ein Wert zugeordnet werden soll, doch der Wert ist in diesem Fall eine Abbildung ${}g$ bzw. ${}g_{x}$, da es ja von ${}x$ abhängt, von ${}N$ nach ${}L$. Dieses ${}g_{x}$ soll somit jedem ${}y\in N$ ein Element aus ${}L$ zuordnen. Wir haben ja aber das ${}f$ zur Verfügung, das jedem Paar ${}(x,y)$ etwas aus ${}L$ zuordnet. Deshalb ist die einzige sinnvolle Idee, dem ${}f$ die Abbildung

$x\longmapsto (y\mapsto f(x,y))$

zuzuordnen.

Jetzt muss man dies noch sinnvoll aufschreiben. Nennen wir die Gesamtzuordnung ${}\Psi$, also

$\Psi \colon \operatorname {Abb} \,{\left(M\times N,L\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(M,\operatorname {Abb} \,{\left(N,L\right)}\right)},\,f\longmapsto \Psi (f),$

wobei ${}\Psi (f)$ eben definiert wird durch

${}((\psi (f))(x))(y):=f(x,y)\,.$

Man muss jetzt noch zeigen, dass diese Gesamtzuordnung bijektiv ist, etwa dadurch, dass man mit einer ähnlichen Überlegung eine Umkehrabbildung angibt.

Zur kommentierten Aufgabe