Mengen/Operationen/Einführung/Textabschnitt

So, wie man Aussagen zu neuen Aussagen verknüpfen kann, gibt es Operationen, mit denen aus Mengen neue Mengen entstehen. Die wichtigsten sind die folgenden:^[1]

Vereinigung

{}A\cup B:={\left\{x\mid x\in A{\text{ oder }}x\in B\right\}}\,.

Durchschnitt

{}A\cap B:={\left\{x\mid x\in A{\text{ und }}x\in B\right\}}\,.

Differenzmenge

{}A\setminus B:={\left\{x\mid x\in A{\text{ und }}x\notin B\right\}}\,.

Diese Operationen ergeben nur dann einen Sinn, wenn die beteiligten Mengen als Teilmengen in einer gemeinsamen Grundmenge gegeben sind. Dies sichert, dass man über die gleichen Elemente spricht. Häufig wird diese Grundmenge nicht explizit angegeben, dann muss man sie aus dem Kontext erschließen. Ein Spezialfall der Differenzmenge bei einer gegebenen Grundmenge ist das Komplement einer Teilmenge ${}A\subseteq G$ , das durch

{}\complement A:=G\setminus A={\left\{x\in G\mid x\not \in A\right\}}\,

definiert ist. Wenn zwei Mengen einen leeren Schnitt haben, also ${}A\cap B=\emptyset$ gilt, so nennen wir sie disjunkt.

↑ Die Symbolik kann man sich so merken: Bei Vereinigung denke man an englisch union, das ${}\cup$ sieht aus wie ein u. Der Durchschnitt ist das ${}\cap$ . Die entsprechenden logischen Operationen oder bzw. und haben die analoge eckige Form ${}\vee$ bzw. ${}\wedge$ .

[1] Die Symbolik kann man sich so merken: Bei Vereinigung denke man an englisch union, das ${}\cup$ sieht aus wie ein u. Der Durchschnitt ist das ${}\cap$ . Die entsprechenden logischen Operationen oder bzw. und haben die analoge eckige Form ${}\vee$ bzw. ${}\wedge$ .

[1]