Mengen/Relatives Produkt/Aufgabe

Es seien $L_1,L_2,M$ Mengen und

$p_1:L_1⟶M$

und

$p_2:L_2⟶M$

Abbildungen. Wir definieren

$L_1{\times }_M{L}_2:=\{(x_1,x_2)\mid p_1(x_1)=p_2(x_2)\}\subseteq L_1\times L_2.$

1. Zeige, dass es ein kommutatives Diagramm

   $\begin{array}{cccc}{L}_1{\times }_M{L}_2& \stackrel{}{⟶}& L_1& \\ \downarrow & & \downarrow & \\ L_2& \stackrel{}{⟶}& M& \end{array}$

   gibt.

2. Es sei $T$ eine weitere Menge und ${\psi }_1:T\to L_1$ und ${\psi }_2:T\to L_2$ Abbildungen mit

   $p_1\circ {\psi }_1=p_2\circ {\psi }_2.$

   Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Abbildung

   $\psi :T⟶L_1{\times }_M{L}_2$

   derart gibt, dass die Projektionen auf $L_1$ bzw. $L_2$ mit ${\psi }_1,{\psi }_2$ übereinstimmen.

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