Mengen/Zahlen/Einführung/Textabschnitt

Georg Cantor (1845-1918) ist der Schöpfer der Mengentheorie.

David Hilbert (1862-1943) nannte sie ein Paradies, aus dem die Mathematiker nie mehr vertrieben werden dürfen.

Mathematische Strukturen, wie die bereits erwähnten Zahlen, werden als Mengen beschrieben. Eine Menge ist eine Ansammlung von wohlunterschiedenen Objekten, die die Elemente der Menge heißen. Mit „wohlunterschieden“ meint man, dass es klar ist, welche Objekte als gleich und welche als verschieden angesehen werden. Die Zugehörigkeit eines Elementes ${}x$ zu einer Menge ${}M$ wird durch

${}x\in M\,$

ausgedrückt, die Nichtzugehörigkeit durch

${}x\notin M\,.$

Für jedes Element(symbol) gilt stets genau eine dieser beiden Möglichkeiten. Beispielsweise ist ${}{\frac {3}{7}}\notin \mathbb {N}$ und ${}{\frac {3}{7}}\in \mathbb {Q}$. Für Mengen gilt das Extensionalitätsprinzip, d.h. eine Menge ist durch die in ihr enthaltenen Elemente eindeutig bestimmt, darüber hinaus bietet sie keine Information. Insbesondere stimmen zwei Mengen überein, wenn beide die gleichen Elemente enthalten.

Die Menge, die kein Element besitzt, heißt leere Menge und wird mit

$\emptyset$

bezeichnet.

Eine Menge ${}N$ heißt Teilmenge einer Menge ${}M$, wenn jedes Element aus ${}N$ auch zu ${}M$ gehört. Man schreibt dafür ${}N\subseteq M$ (manche schreiben dafür ${}N\subset M$). Man sagt dafür auch, dass eine Inklusion ${}N\subseteq M$ vorliegt. Für die erwähnten Zahlenmengen gelten die Inklusionen

${}\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \,.$

Die Teilmengenbeziehung ${}N\subseteq M$ ist eine Allaussage. Im Nachweis, dass ${}N\subseteq M$ ist, muss man zeigen, dass für ein beliebiges Element ${}x\in N$ ebenfalls die Beziehung ${}x\in M$ gilt. Dabei darf man lediglich die Eigenschaft ${}x\in N$ verwenden. Für uns werden Mengen hauptsächlich Zahlenmengen und daraus konstruierte Mengen sein. Eine Menge heißt endlich, wenn sie durch die natürlichen Zahlen ${}1,2,3,\ldots ,n$ für ein gewisses ${}n\in \mathbb {N}$ „sinnvoll abgezählt“ werden kann. In diesem Fall nennt man ${}n$ die Anzahl der Menge.