Mersenne-Primzahlen/Unendlichkeit/Einführung/Textabschnitt

Marin Mersenne (1588-1648)

Definition

Eine Primzahl der Form ${}2^{n}-1$ heißt Mersennesche Primzahl.

Generell nennt man die Zahl

${}M_{n}=2^{n}-1\,$

die ${}n$-te Mersenne-Zahl. Mit dieser Bezeichnung sind die Mersenne-Primzahlen genau diejenigen Mersenne-Zahlen, die Primzahlen sind. Die Mersenne-Zahl ${}M_{n}=2^{n}-1$ hat im Dualsystem eine Entwicklung, die aus genau ${}n$ Einsen besteht. Die ersten Mersenne-Primzahlen sind

$2^{2}-1=3,2^{3}-1=7,2^{5}-1=31,2^{7}-1=127.$

Die Zahl ${}2^{11}-1=2047=23\cdot 89$ ist die erste Mersenne-Zahl, wo der Exponent zwar prim (der Exponent einer Mersenne-Primzahl muss selbst eine Primzahl sein, siehe Aufgabe) ist, die aber selbst keine Mersenne-Primzahl ist. Dies wurde 1536 von Hudalrichus Regius (Walter Hermann Ryff) gezeigt. Der nächste Kandidat, nämlich ${}2^{13}-1=8191$, ist wieder prim. Bis ca. 1950 war bekannt, dass für die Exponenten

$2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107{\text{ und }}127$

Mersenne-Primzahlen vorliegen, und keine weiteren unterhalb dem Exponenten ${}258$. Von verschiedenen Leuten, unter anderem von Cataldi und Mersenne selbst, wurden falsche Behauptungen aufgestellt. Ab ca. 1950 kamen Computer zum Bestimmen von Mersenne-Primzahlen zum Einsatz, und es wurden bisher insgesamt ${}50$ Mersenne-Primzahlen gefunden (Stand 2018). Alle größten bekannten Primzahlen sind Mersenne-Zahlen. Das liegt daran, dass es für diese Zahlen einen vergleichsweise einfachen Primzahltest gibt, nämlich den Lucas-Lehmer-Test. Mit diesem Test wird etwa alle zwei Jahre eine neue größte Primzahl gefunden. Eine Rekordliste findet sich unter Mersenne-Primzahlen auf Wikipedia.

Das Auffinden von großen (Mersenne)-Primzahlen, also der konkrete Nachweis, dass eine bestimmte Zahl diese Eigenschaft besitzt, ist aber etwas anderes als der Existenznachweis, dass es innerhalb oder oberhalb gewisser Schranken solche Zahlen gibt oder dass es überhaupt nur endlich oder unendlich viele solcher Zahlen gibt. Aufgrund des Satzes von Euklid weiß man, dass es jenseits jeder beliebig großen natürlichen Zahl noch Primzahlen gibt. Für Mersenne-Primzahlen ist das unbekannt.

Problem

Gibt es unendlich viele Mersenne-Primzahlen?

Wie gesagt, dies ist unbekannt, es wird aber vermutet, dass es unendlich viele gibt.