Mersenne-Zahlen/Primteiler/Kongruenzbedingungen/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $q$ ein Teiler von  $M_p=2^p-1$.  Dies bedeutet

$2^p=1modq.$

Dann ist $p$ die Ordnung von $2$ in $\mathbb{Z}/(q)$ und nach Fakt ist $p$ ein Teiler von $q-1$. Dies bedeutet wiederum

$q=1modp.$

Da $p$ und $q$ ungerade sind, folgt sogar  $q=1mod2p$.  Wenn $x$ ein primitives Element von $\mathbb{Z}/(q)$ ist, so ist  $2=x^{\frac{q-1}{p}j}$,  da alle Elemente der Ordnung $p$ sich so schreiben lassen. Da dieser Exponent gerade ist, muss $2$ ein Quadratrest sein, und der zweite Ergänzungssatz liefert die Kongruenzbedingung modulo $8$.

Zur bewiesenen Aussage