Messbare Funktionenfolge/Limes inferior superior/Messbar/Aufgabe

Es sei $(M,𝒜)$ ein Messraum und sei

$f_n:M⟶\overline{ℝ}$

eine Folge von messbaren Funktionen. Zeige, dass dann auch die Funktionen

$\lim \inf \left({\left(f_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\right):M⟶\overline{ℝ},x⟼\lim \inf \left({(f_n(x))}_{n\in \mathbb{N}}\right),$

und

$\lim \sup \left({\left(f_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\right):M⟶\overline{ℝ},x⟼\lim \sup \left({(f_n(x))}_{n\in \mathbb{N}}\right),$

messbar sind.

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