Metrischer Raum/Abzählbare Basis/Dichte Teilmenge/Fakt/Beweis

Beweis

Der metrische Raum sei ${}X$. Es sei zuerst ${}U_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, eine Basis der Topologie. Wir wählen Punkte ${}P_{n}\in U_{n}$ und behaupten, dass dies eine dichte Teilmenge ist. Sei ${}Q\in X$ und sei ${}Q\in V$ eine offene Umgebung. Dann ist

${}V=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,$

und daher befinden sich auch die Punkte ${}P_{i}$ in dieser Umgebung. Es sei nun umgekehrt ${}P_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$ eine dichte Teilmenge. Es ist dann auch die Menge der offenen Bälle ${}U{\left(P_{n},{\frac {1}{k}}\right)}$, ${}(n,k)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} _{+}$, abzählbar. Sei ${}Q\in X$ und sei ${}Q\in V\subseteq X$ eine offene Umgebung und sei ${}Q\in U{\left(Q,{\frac {1}{m}}\right)}\subseteq V$. Wegen der Dichtheit gibt es einen Punkt ${}P_{n}$ mit

${}d{\left(Q,P_{n}\right)}<{\frac {1}{2m}}\,.$

Dann ist ${}Q\in U{\left(P_{n},{\frac {1}{2m}}\right)}\subseteq U{\left(Q,{\frac {1}{m}}\right)}$.

Zur bewiesenen Aussage