Metrischer Raum/Kompakt/Vollständig/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}X$. Nehmen wir an, dass diese Folge nicht konvergiert. Nach Aufgabe besitzt sie dann auch keinen Häufungspunkt. Das bedeutet, dass es zu jedem Punkt ${}y\in X$ eine offene Umgebung ${}y\in U_{y}$ derart gibt, dass es darin nur endlich viele Folgenglieder gibt. Aufgrund der Kompaktheit gibt es zur Überdeckung

${}X=\bigcup _{y\in X}U_{y}\,$

eine endliche Teilüberdeckung, also

${}X=\bigcup _{i=1}^{m}U_{y_{i}}\,.$

Dann wären ab einem ${}N$ alle Folgenglieder außerhalb dieser Menge, was absurd ist.

Zur bewiesenen Aussage