Metrischer Raum/Normal/Fakt/Beweis

Beweis

Es seien ${}Y,Z$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen des metrischen Raumes ${}X$. Zu jedem Punkt ${}y\in Y$ gibt es aufgrund der Abgeschlossenheit von ${}Z$ ein ${}\delta _{y}>0$ derart, dass der offene Ball ${}U{\left(y,\delta _{y}\right)}$ disjunkt zu ${}Z$ ist. Entsprechend gibt es zu ${}z\in Z$ ein ${}\epsilon _{z}>0$ derart, dass ${}U{\left(z,\epsilon _{z}\right)}$ disjunkt zu ${}Y$ ist. Es ist dann

${}Y\subseteq \bigcup _{y\in Y}U{\left(y,{\frac {\delta _{y}}{2}}\right)}\,$

eine offene Umgebung von ${}Y$ und

${}Z\subseteq \bigcup _{z\in Z}U{\left(z,{\frac {\epsilon _{z}}{2}}\right)}\,$

eine offene Umgebung von ${}Z$. Wir behaupten, dass diese beiden offenen Mengen disjunkt sind. Nehmen wir an, dass dies nicht der Fall ist. Dann gibt es Punkte ${}y\in Y$ und ${}z\in Z$ derart, dass

${}U{\left(y,{\frac {\delta _{y}}{2}}\right)}\cap U{\left(z,{\frac {\epsilon _{z}}{2}}\right)}\neq \emptyset \,$

ist. Es sei ${}x$ ein Punkt darin. Dann ist

${}d(y,z)\leq d(y,x)+d(x,z)<{\frac {\delta _{y}}{2}}+{\frac {\epsilon _{z}}{2}}\,.$

Ohne Einschränkung sei ${}\delta _{y}\leq \epsilon _{z}$. Dann ist

${}d(y,z)<\epsilon _{z}\,$

was ein Widerspruch zur Wahl von ${}\epsilon _{z}$ ist.

Zur bewiesenen Aussage