Metrischer Raum/Offene Kugel/Ist offen/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}y\in U\left(x,\epsilon \right)$. Daher ist

${}d(x,y)<\epsilon \,.$

Wir setzen

${}\delta :=\epsilon -d(x,y)>0\,.$

Für ${}z\in U\left(y,\delta \right)$ ist nach der Dreiecksungleichung

${}{\begin{aligned}d(x,z)&\leq d(x,y)+d(y,z)\\&<d(x,y)+\delta \\&=d(x,y)+\epsilon -d(x,y)\\&=\epsilon ,\end{aligned}}$

also ist ${}U\left(y,\delta \right)\subseteq U\left(x,\epsilon \right)$ und damit ist ${}U\left(x,\epsilon \right)$ offen.

Zur gelösten Aufgabe