Metrischer Raum/Teilmenge/Total beschränkt/Abschluss/Aufgabe/Lösung

Sei ${}\epsilon >0$ gegeben. Zu ${}\epsilon ':={\frac {\epsilon }{2}}$ gibt es wegen der totalen Beschränktheit von ${}T$ endlich viele Punkte ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in T$ mit

${}T\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}U{\left(P_{i},\epsilon '\right)}\,.$

Wir behaupten

${}{\overline {T}}\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}U{\left(P_{i},\epsilon \right)}\,.$

Zu einem Punkt ${}Q\in {\overline {T}}$ gibt es eine Folge ${}Q_{n}\in T$, die gegen ${}Q$ konvergiert. Daher gibt es insbesondere ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit

${}d(Q_{n},Q)\leq \epsilon '\,.$

Wegen ${}Q_{n}\in T$ gibt es einen Punkt ${}P_{i}$ mit ${}Q_{n}\in U{\left(P_{i},\epsilon '\right)}$. Daher ist

${}d(P_{i},Q)\leq d(P_{i},Q_{n})+d(Q_{n},Q)<\epsilon '+\epsilon '=\epsilon \,,$

also

${}Q\in U{\left(P_{i},\epsilon \right)}$.

Zur gelösten Aufgabe