Minkowski-Raum/3/Beobachtervektor/Raum/Orthogonalbasis/1/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {3}}{5}}\\{\frac {\sqrt {2}}{5}}\\{\frac {\sqrt {6}}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {3}}{5}}\\{\frac {\sqrt {2}}{5}}\\{\frac {\sqrt {6}}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\right\rangle ={\frac {3}{25}}+{\frac {2}{25}}-{\frac {6}{5}}={\frac {3+2-30}{25}}={\frac {-25}{25}}=-1\,,$

also liegt ein Beobachtervektor vor. Die Raumkomponente dieses Beobachters ist die Ebene, die dazu bezüglich der Minkowski-Form senkrecht steht. Dies führt auf die Bedingung

${}\left\langle {\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {3}}{5}}\\{\frac {\sqrt {2}}{5}}\\{\frac {\sqrt {6}}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\right\rangle ={\frac {\sqrt {3}}{5}}x+{\frac {\sqrt {2}}{5}}y-{\frac {\sqrt {6}}{\sqrt {5}}}z=0\,,$

was nach Multiplikation mit ${}5$ zu

${}{\sqrt {3}}x+{\sqrt {2}}y-{\sqrt {30}}z=0\,$

äquivalent ist. Einfache, linear unabhängige Lösungen sind ${}v={\begin{pmatrix}0\\{\sqrt {15}}\\1\end{pmatrix}}$ und ${}w={\begin{pmatrix}{\sqrt {10}}\\0\\1\end{pmatrix}}$, diese bilden eine Basis der Raumkomponente. Um eine Orthogonalbasis zu bekommen, machen wir den Ansatz

${}{\begin{aligned}\left\langle v,v+\alpha w\right\rangle &=\left\langle {\begin{pmatrix}0\\{\sqrt {15}}\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\{\sqrt {15}}\\1\end{pmatrix}}+\alpha {\begin{pmatrix}{\sqrt {10}}\\0\\1\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=\left\langle {\begin{pmatrix}0\\{\sqrt {15}}\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\{\sqrt {15}}\\1\end{pmatrix}}\right\rangle +\alpha \left\langle {\begin{pmatrix}0\\{\sqrt {15}}\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\sqrt {10}}\\0\\1\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=14-\alpha ,\end{aligned}}$

also ist

${}\alpha =14\,$

und ${}v$ zusammen mit

${}z=v+\alpha w={\begin{pmatrix}0\\{\sqrt {15}}\\1\end{pmatrix}}+14{\begin{pmatrix}{\sqrt {10}}\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14{\sqrt {10}}\\{\sqrt {15}}\\15\end{pmatrix}}\,$

eine Orthogonalbasis.

Zur gelösten Aufgabe