Minkowski-Raum/3/Beobachtervektor/Raum/Orthogonalbasis/1/Aufgabe/Lösung

Es ist

$⟨\left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{5}\\ \frac{\sqrt{2}}{5}\\ \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{5}\\ \frac{\sqrt{2}}{5}\\ \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}\end{array}\right)⟩=\frac{3}{25}+\frac{2}{25}-\frac{6}{5}=\frac{3+2-30}{25}=\frac{-25}{25}=-1,$

also liegt ein Beobachtervektor vor. Die Raumkomponente dieses Beobachters ist die Ebene, die dazu bezüglich der Minkowski-Form senkrecht steht. Dies führt auf die Bedingung

$⟨\left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{3}}{5}\\ \frac{\sqrt{2}}{5}\\ \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)⟩=\frac{\sqrt{3}}{5}x+\frac{\sqrt{2}}{5}y-\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}z=0,$

was nach Multiplikation mit $5$ zu

$\sqrt{3}x+\sqrt{2}y-\sqrt{30}z=0$

äquivalent ist. Einfache, linear unabhängige Lösungen sind $v=\left(\begin{array}{c}0\\ \sqrt{15}\\ 1\end{array}\right)$ und $w=\left(\begin{array}{c}\sqrt{10}\\ 0\\ 1\end{array}\right)$, diese bilden eine Basis der Raumkomponente. Um eine Orthogonalbasis zu bekommen, machen wir den Ansatz

$\begin{array}{cc}⟨v,v+\alpha w⟩& =⟨\left(\begin{array}{c}0\\ \sqrt{15}\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ \sqrt{15}\\ 1\end{array}\right)+\alpha \left(\begin{array}{c}\sqrt{10}\\ 0\\ 1\end{array}\right)⟩\\ & =⟨\left(\begin{array}{c}0\\ \sqrt{15}\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ \sqrt{15}\\ 1\end{array}\right)⟩+\alpha ⟨\left(\begin{array}{c}0\\ \sqrt{15}\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}\sqrt{10}\\ 0\\ 1\end{array}\right)⟩\\ & =14-\alpha ,\end{array}$

also ist

$\alpha =14$

und $v$ zusammen mit

$z=v+\alpha w=\left(\begin{array}{c}0\\ \sqrt{15}\\ 1\end{array}\right)+14\left(\begin{array}{c}\sqrt{10}\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}14\sqrt{10}\\ \sqrt{15}\\ 15\end{array}\right)$

eine Orthogonalbasis.

Zur gelösten Aufgabe