Minkowski-Raum/Beobachtervektoren/Zwei Zusammenhangskomponenten/Aufgabe/Kommentar

Ohne Einschränkungen können wir annehmen, dass die gegebene Minkowski-Form die Standard-Minkowski-Form ist. Falls ${}v$ ein Beobachtervektor ist, so gilt also ${}\langle v,v\rangle =v_{1}^{2}+\cdots +v_{n-1}^{2}-v_{n}^{2}=-1$. Die Menge der Vektoren, die dieser quadratischen Gleichung genügen, beschreiben eine Hyperfläche. Durch Äquivalenzumformungen erhalten wir die Gestalt ${}v_{n}=\pm {\sqrt {1+v_{1}^{2}+\cdots v_{n-1}^{2}}}$, sodass wir die Beobachtervektoren in parametrischer Form durch

$M_{+}:=\left\{(v_{1},\dots ,v_{n})\in V\mid v_{n}={\sqrt {1+v_{1}^{2}+\cdots v_{n-1}^{2}}}\right\}$

und

$M_{-}:=\left\{(v_{1},\dots ,v_{n})\in V\mid v_{n}=-{\sqrt {1+v_{1}^{2}+\cdots v_{n-1}^{2}}}\right\}$

beschreiben können. Zu jeder Wahl von ${}v_{1},\dots ,v_{n-1}\in \mathbb {R}$ existieren also genau zwei Beobachtervektoren. Da der Ausdruck ${}{\sqrt {1+v_{1}^{2}+\cdots +v_{n-1}^{2}}}$ stets positiv und somit niemals Null ist, können zwei solche Beobachtervektoren nicht der gleichen Zusammenhangskomponente angehören. Das bedeutet, dass kein stetiger Weg innerhalb der Menge der Beobachtervektoren existiert, der die beiden Beobachtervektoren verbindet. Die Menge der Beobachtervektoren zerfällt daher in (mindestens) zwei nicht zusammenhängende Komponenten. Da die Zuordnung

$\mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R} ,\quad (v_{1},\dots ,v_{n-1})\mapsto {\sqrt {1+v_{1}^{2}+\cdots +v_{n-1}^{2}}},$

eine stetige Abbildung ist, bilden die Punkte in ${}M_{+}$ eine Zusammenhangskomponente, denn zu je zwei Punkten kann ein stetiger Weg in ${}M_{+}$ angegeben werden, der die Punkte verbindet. Wie lässt sich ein solcher Weg explizit angeben? Das Gleiche gilt auch für ${}M_{-}$, sodass tatsächlich genau zwei Zusammenhangskomponenten vorliegen. Wir können uns die Mengen ${}M_{+}$ und ${}M_{-}$ vorstellen als zwei Schalen, die gegenüberliegend im Innern des Kegels liegen, der durch ${}\langle v,v\rangle =0$ definiert wird.

Der zweite Teil der Aufgabe bleibt noch zu zeigen.

Zur kommentierten Aufgabe