Minkowski-Raum/Bewegungsvorgang/Realisierung durch Skalierung/Beispiel

In einem vierdimensionalen Standard-Minkowski-Raum soll etwas vom Punkt  $P=\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\\ r\end{array}\right)$  zum Punkt  $Q=\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ q_3\\ s\end{array}\right)$  gleichmäßig bewegt werden. Im klassischen Ansatz ist einfach der Verbindungsvektor

$\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\\ t\end{array}\right):=\left(\begin{array}{c}{q}_1\\ q_2\\ q_3\\ s\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\\ r\end{array}\right)$

zu wählen. Dieser ist aber im Allgemeinen kein Beobachtervektor und der anvisierte Bewegungsvorgang ist dann nicht realisierbar. Wenn $y_1^2+y_2^2+y_3^2-t^2$ negativ ist, was inhaltlich bedeutet, dass ein zeitartiger Vektor vorliegt, so kann man den Vektor aber zu einem Beobachtervektor

$\left(\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\\ z_3\\ u\end{array}\right)=\frac{1}{\sqrt{-⟨\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\\ t\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\\ t\end{array}\right)⟩}}\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\\ t\end{array}\right)$

umskalieren. Es beschreibt dann

$x⟼\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\\ r\end{array}\right)+x\left(\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\\ z_3\\ u\end{array}\right)$

einen Bewegungsvorgang, der für  $x=0$  im Punkt $P$ startet und für  $x=\sqrt{-⟨\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\\ t\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\\ t\end{array}\right)⟩}$  im Punkt $Q$ endet und der physikalisch durchführbar ist.