Minoren/1/Tangentialbündel/Beispiel

Wir betrachten die Minoren zu

${\begin{pmatrix}X&Y&Z\\Y&Z&W\end{pmatrix}},$

also das Ideal

$(Y^{2}-XZ,YW-Z^{2},XW-ZY)$

und den Restklassenring

${}R=K[X,Y,Z,W]/(Y^{2}-XZ,YW-Z^{2},XW-ZY)\,.$

Zwischen den Erzeugern besteht beispielsweise die Beziehung

${}X(YW-Z^{2})-Y(XW-ZY)=-XZ^{2}+ZY^{2}=Z(-XZ+Y^{2})\,.$

Die Gleichungen für die Differentiale sind

$(-ZdX+2YdY-XdZ,WdY-2ZdZ+YdW,WdX-ZdY-YdZ+XdW).$

Zwischen diesen drei Erzeugern besteht eine Relation mit den Koeffizienten ${}(Z,-X,Y)$.

Es ist

${}{\begin{aligned}Z(-ZdX+2YdY-XdZ)&=-Z^{2}dX+2YZdY-XZdZ\\&=-YWdX+2YZdY-Y^{2}dZ\\&=Y(-WdX+2ZdY-YdZ).\end{aligned}}$

Die rechte Seite muss auf der horizontalen Komponente verschwinden. Durch Addition mit dem dritten Differential ergibt sich

$ZdY-2YdZ+XdW.$

Es ist im rationalen Sinn

${}dZ=-{\frac {Z}{X}}dX+2{\frac {Y}{X}}dY\,$

und

${}{\begin{aligned}dW&=-{\frac {W}{X}}dX+{\frac {Z}{X}}dY+{\frac {Y}{X}}dZ\\&=-{\frac {W}{X}}dX+{\frac {Z}{X}}dY+{\frac {Y}{X}}{\left(-{\frac {Z}{X}}dX+2{\frac {Y}{X}}dY\right)}\\&=-{\left({\frac {W}{X}}+{\frac {YZ}{X^{2}}}\right)}dX+{\left({\frac {Z}{X}}+2{\frac {Y^{2}}{X^{2}}}\right)}dY.\end{aligned}}$

Es ist

${}A_{X}\cong R_{X}[dX,dY]\,.$

Der Kern der Abbildung

$A\longrightarrow A_{X}$

besteht aus allen

$\alpha dX+\beta dY+\gamma dZ+\delta dW$

mit

${}\alpha -{\frac {Z}{X}}\gamma -{\frac {WX+YZ}{X^{2}}}\delta =0\,$

und

${}\beta -2{\frac {Y}{X}}\gamma +{\frac {XZ+2Y^{2}}{X^{2}}}\delta =0\,.$