Mittelsenkrechte/Abstandsbedingung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

$M=\frac{1}{2}(A+B)$

der Mittelpunkt der beiden Eckpunkte und $u$ ein zu $\overrightarrow{AB}$ senkrechter Vektor, sodass die Punkte auf der Mittelsenkrechten gleich $M+su$ mit  $s\in ℝ$  sind.

Es sei zunächst  $P\in {ℝ}^2$  ein Punkt der Mittelsenkrechte, den wir als

$P=M+su$

ansetzen können. Es ist unter Verwendung des Satzes des Pythagoras

$d(P,A{)}^2=\Vert P-A{\Vert }^2=\Vert su-\frac{1}{2}(B-A){\Vert }^2=\Vert su{\Vert }^2+\Vert \frac{1}{2}(B-A){\Vert }^2.$

Das gleiche Ergebnis ergibt sich für $d(P,B{)}^2$.

Es sei nun  $P\in {ℝ}^2$  ein Punkt, der zu $A$ und $B$ den gleichen Abstand besitzt. Der Abstand von $P$ zur Geraden durch $A$ und $B$ werde im Punkt $Q$ angenommen. Dann steht die Gerade durch $P$ und $Q$ senkrecht auf der Geraden durch $A$ und $B$ und nach dem Satz des Pythagoras gilt

$d(P,A{)}^2=d(P,Q{)}^2+d(Q,A{)}^2$

und entsprechend

$d(P,B{)}^2=d(P,Q{)}^2+d(Q,B{)}^2.$

Nach Voraussetzung ist also

$d(Q,A)=d(Q,B)$

und somit ist

$Q=M$

der Mittelpunkt der Strecke von $A$ nach $B$. Also liegt $P$ auf der Mittelsenkrechten.

Zur bewiesenen Aussage