Mittelsenkrechte/Abstandsbedingung/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei

der Mittelpunkt der beiden Eckpunkte und ein zu senkrechter Vektor, so dass die Punkte auf der Mittelsenkrechten gleich mit sind.

Es sei zunächst ein Punkt der Mittelsenkrechte, den wir als

ansetzen können. Es ist unter Verwendung des Satzes des Pythagoras

Das gleiche Ergebnis ergibt sich für .

Es sei nun ein Punkt, der zu und den gleichen Abstand besitzt. Der Abstand von zur Geraden durch und werde im Punkt angenommen. Dann steht die Gerade durch und senkrecht auf der Geraden durch und und nach dem Satz des Pythagoras gilt

und entsprechend

Nach Voraussetzung ist also

und somit ist

der Mittelpunkt der Strecke von nach . Also liegt auf der Mittelsenkrechten.

Zur bewiesenen Aussage