Modallogik/Gerichteter Graph/Belegung/1/Beispiel

Wir arbeiten mit den Aussagenvariablen $p,q,r$. Im Weltpunkt $a$ gelte

$a\models p,q,\mathrm{\neg }r$

und im Weltpunkt $b$ gelte

$b\models p,\mathrm{\neg }q,r.$

Daraus kann man die Gültigkeit von aussagenlogischen Ausdrücken jeweils erschließen, beispielsweise gilt

$a\models p\wedge \mathrm{\neg }r$

oder

$b\models \mathrm{\neg }q\to r.$

Für modallogische Ausdrücke muss man den gerichteten Graphen berücksichtigen, wobei man induktiv über die Anzahl der Boxen vorgeht. Es geht also zunächst um Ausdrücke der Form $◻\alpha$, wobei $\alpha$ ein rein aussagenlogischer Ausdruck ist (also ohne jede Box). Die Gültigkeit von $◻\alpha$ in einem Weltpunkt bedeutet, dass in jedem von diesem Weltpunkt aus erreichbaren Weltpunkt $\alpha$ gilt. Somit gilt beispielsweise

$a\models ◻p$

und

$a\models \mathrm{\neg }◻q$

und

$a\models ◻(q\vee r),$

ferner

$b\models ◻p$

und

$b\models ◻\mathrm{\neg }q.$

Damit kann man dann in jedem Punkt aussagenlogisch den Wahrheitswert von jeder modallogischen Aussage bestimmen, in der die Box nur einfach (also ohne Verschachtelungen) auftritt, beispielsweise

$a\models ◻p\wedge \mathrm{\neg }r\wedge \mathrm{\neg }◻\mathrm{\neg }r.$

Unter Berücksichtigung des gerichteten Graphen kann man dann auch den Wahrheitswert für jeden modallogischen Ausdruck mit modallogischer Verschachtelungstiefe $\le 2$ bestimmen, also etwa

$a\models ◻◻p,$

usw.