Modallogik/K/Gültigkeit/Fakt/Beweis

Beweis

(1) und (3) sind klar, da die Gültigkeit in einem Knoten die aussagenlogischen Gesetze respektiert. (2). Sei ${}w\in M$ und

$w\vDash \Box (\alpha \rightarrow \beta )$

und

$w\vDash \Box \alpha .$

Dann gilt in jeder von ${}w$ aus erreichbaren Welt ${}v$

$v\vDash \alpha \rightarrow \beta {\text{ und }}v\vDash \alpha$

und damit

$v\vDash \beta .$

Also ist

$w\vDash \Box \beta .$

(4). Wenn ${}(M,R,\mu )\vDash \alpha$ in einem modallogischen Modell ${}(M,R,\mu )$ gilt, so gilt für jede Welt ${}w\in M$ auch ${}w\vDash \alpha$. Wegen dieser allgemeinen Gültigkeit gilt auch ${}v\vDash \alpha$ für jede von ${}w$ aus erreichbare Welt und damit ${}w\vDash \Box \alpha$. Dies gilt in jedem Punkt dieses Modells.

Zur bewiesenen Aussage