Modallogik/K/System/Widerspruchsfrei/Auffüllung/Fakt/Beweis

Beweis

Dies ist eine rein aussagenlogische Aussage, die im Prinzip aus Fakt folgt. Allerdings ist hier durch die Anwesenheit von ${}\Box$ die Sprache etwas anders. Für diesen Zweck kann man modalisierte Aussagen einfach als neue Aussagenvariablen auffassen. Man kann auch direkt das Lemma von Zorn in der jetzigen Situation anwenden. Oder man kann im abzählbaren Fall wie folgt schließen: Mit ${}I$ ist auch die modallogische Sprache überhaupt abzählbar. Wir betrachten eine Abzählung ${}\alpha _{n}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, der modallogischen Ausdrücken und definieren

${}\Gamma _{n+1}=\Gamma _{n}\cup \{\alpha _{n+1}\}\,,$

falls dies widerspruchsfrei ist, und ansonsten durch

${}\Gamma _{n+1}=\Gamma _{n}\,.$

Die Vereinigung ${}{\tilde {\Gamma }}$ ist dann maximal widerspruchsfrei.

Zur bewiesenen Aussage